克莱因提出几何学就是研究在特定变换下不变性质的学科，该观点披后世称为爱尔兰根纲领．如在初中阶段我们研究了旋转、翻折、平移等保持变换前后长度不变、角度不变的变换，称这些变换为保长变换和保角变换．设平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 是空间中两个相异平面，$P$ 是平面外一点．定义平面 $\alpha$ 到平面 $\beta$ 关于点 $P$ 的单点透视变换 $f$：$\forall A \in \alpha$，若直线 $P A$ 交平面 $\beta$ 于点 $A^{\prime}$，则 $f(A)=A^{\prime}$，称 $A^{\prime}$ 为 $A$ 在平面 $\beta$ 内的像：若 $P A \cap \beta=\varnothing$，则 $f(A)=\infty$，称 $A$ 为平面 $a$ 内的影消点，则下述命题中正确的有（ ）
A．$f$ 是保角变换，但不是保长变换
B．平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 相交是平面 $\alpha$ 内存在影消点的充要条件
C．若平面 $\alpha$ 内存在影消点，则影消点的轨迹是一条直线
D．平面 $\alpha$ 内的椭圆在单点透视变换 $f$ 下的偍仍是椭圆
答案 BC．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，当平面 $\alpha,\beta$ 平行，且点 $P$ 到平面 $\alpha,\beta$ 的距离相等时，此时变换 $f$ 类似于中心对称变换，变换前后的图形保持角度、长度均不变，选项错误；
对于选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$，当平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交时，过 $P$ 作平面 $\beta$ 的平行平面 $\gamma$，则平面 $\alpha$ 与 $\gamma$ 的交线 $l$ 上的点均为平面 $\alpha$ 上的影消点，且当 $A\notin l$ 时，$AP$ 与 $\beta$ 相交，因此直线 $l$ 外的点均不是影消点；当平面 $\alpha$ 内存在影消点 $A$ 时，有 $AP\parallel \beta$，若 $\alpha\parallel \beta$，则 $AP\parallel \alpha$，而 $A,P$ 分别在平面 $\alpha$ 内、外，矛盾，因此平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 均正确；
对于选项 $\boxed{D}$，考虑平面 $\alpha,\beta$ 截以 $P$ 为顶点的圆锥面，设圆锥面关于过 $P$ 的平面 $\sigma$ 对称，则随着 $\alpha,\beta$ 与 $\sigma$ 所成角不同，变换 $f$ 可以将椭圆变换为圆、椭圆、双曲线、抛物线，选项错误；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．