已知 $P(5, \sqrt{10})$ 为抛物线 $y^2=2 p x$（$p>0$）上一点，过点 $P$ 作圆 $Q:(x-a)^2+y^2=1$ 的两条切线分别交抛物线于 $C, D$，设切点为 $A, B$．若 $A B\parallel C D$，则 $a$ 的所有可能取值的和为（ ）
A．$2$
B．$\dfrac{10}{3}$
C．$4$
D．$\dfrac{11}{2}$
答案 D．
解析 由点 $P$ 在抛物线上可得 $p=1$，抛物线方程为 $y^2=2x$，双切线 $PA\cup PB$ 的方程为\[\big((5-a)^2+9\big)\cdot \big((x-a)^2+y^2-1\big)=\big((5-a)(x-a)+\sqrt{10}y-1\big)^2,\]与抛物线 $y^2=2x$ 联立可得\[\left((5-a)^2+9\right)\cdot \left(\left(\frac 12y^2-a\right)^2+y^2-1\right)=\left((5-a)\left(\frac 12y^2-a\right)+\sqrt{10}y-1\right)^2,\]该关于 $y$ 的四次方程的根为 $\sqrt{10},\sqrt{10},y_1,y_2$，其中 $y_1,y_2$ 是点 $C,D$ 的纵坐标．由 $AB\parallel CD$，可得 $PQ\perp CD$，从而\[\frac{\sqrt{10}}{5-a}\cdot \frac{y_1-y_2}{\frac 12y_1^2-\frac 12y_2^2}=-1\iff y_1+y_2=-\frac{2\sqrt{10}}{5-a},\]而根据四次方程的韦达定理，有\[\sqrt{10}+\sqrt{10}+y_1+y_2=\frac{\sqrt{10}(5-a)}{\frac 14\left((5-a)^2+9\right)-\frac14(5-a)^2}=\frac {4\sqrt{10}}9(5-a),\]令 $t=5-a$，于是\[2\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{10}}t=\frac{4\sqrt{10}}9t\iff 2t^2-9t+9=0,\]因此 $a$ 的所有可能取值之和为 $10-\frac 92=\frac{11}2$．