已知 $O$ 为锐角 $\triangle A B C$ 的外心，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且 $\overrightarrow{C O} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B O} \cdot \overrightarrow{C A}$，$a=1$，则 $\triangle A B C$ 面积的取值范围为（ ）
A．$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}, \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right]$
B．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}, \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right]$
C．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$
D．$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$
答案 A．
解析 根据题意，有\[ \overrightarrow{C O} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B O} \cdot \overrightarrow{C A}\iff \overrightarrow{CO}\cdot \left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{BO}\cdot \left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right),\]也即\[\frac 12a^2-\frac 12b^2=\frac 12c^2-\frac 12a^2\iff b^2+c^2=2,\]设 $B\left(-\frac 12,0\right),C\left(\frac 12,0\right)$，$A(x,y)$（$y>0$），则由 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，于是\[|x|<\frac 12, x^2+y^2<\frac 14,\]而由 $b^2+c^2=2$ 可得\[\left(x+\frac 12\right)^2+y^2+\left(x-\frac 12\right)^2+y^2=2\iff x^2+y^2=\frac 34,\]于是 $y$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt 2}2,\frac{\sqrt 3}2\right]$，进而 $\triangle ABC$ 的面积的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt 2}4,\frac{\sqrt3}4\right]$．