已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，$T\left(-\frac{3}{2}, 1\right.$）在 $C$ 上，$F$ 是 $C$ 的焦点，$F T$ 垂直于 $y$ 轴．斜率为 $k$（$k>0$）的直线 $ l $ 经过点 $ P(0,4)$ 且与 $ C $ 交于 $ A,B$ 两点．
1、求 $C$ 的标准方程；
2、记直线 $F T$ 与 $l$ 的交点为 $Q$，若 $\overrightarrow{B Q}+ 2 \overrightarrow{A Q}=0$，求 $k$．
解析
1、根据题意，有 $F(0,1)$，设椭圆方程为 $\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），则\[\begin{cases} \frac1{a^2}\cdot 1^2+\frac{1}{b^2}\cdot\left(-\frac 32\right)^2=1,\\ a^2-b^2=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=3,\end{cases}\]因此所求标准方程为 $\dfrac{y^2}4+\dfrac{x^2}3=1$．
2、设 $f(x,y)=\dfrac{y^2}4+\dfrac{x^2}3-1$，则由于点 $P$ 对应极线为直线 $FT$，于是 $[A,B;P,Q]$，因此 $\overrightarrow{BP}=-2\overrightarrow{PA}$，也即\[P-B=-2(A-P)\implies B=2A-P\implies f(B)=f(2A-P),\]因此设 $A(x_1,y_1)$，有\[4f(A)-4f(AP)+f(P)=f(B)\implies -4(y_1-1)+3=0\implies y_1=\dfrac 74,\]进而可得 $x_1=-\dfrac{3\sqrt 5}8$，因此所求斜率 $k=\dfrac{6\sqrt 5}5$．