如图，已知椭圆 $C_1: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $ A $ 为 $C_1$ 上的一个动点（非左、右顶点），连接 $A F_1$ 并延长交 $C_1$ 于点 $B$，且 $\triangle A B F_2$ 的周长为 $8$，$ \triangle A F_1 F_2$ 面积的最大值为 $2$．
1、求椭圆 $C_1$ 的标准方程；
2、若椭圆 $C_2$ 的长轴端点为 $F_1, F_2$，且 $C_2$ 与 $C_1$ 的离心率相等，$P$ 为 $A B$ 与 $C_2$ 异于 $F_1$ 的交点，直线 $P F_2$ 交 $C_1$ 于 $M, N$ 两点，证明：$|A B|+|M N|$ 为定值．
解析
1、根据题意，有 $4a=8$ 且 $\dfrac 12\cdot |F_1F_2|\cdot b=2$，因此解得椭圆 $C_1$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$．
2、根据题意，有 $C_2:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，设 $\angle PF_1F_2=\alpha,\angle PF_2F_1=\beta$，则根据椭圆的垂径定理，有\[\tan\alpha\cdot (-\tan\beta)=-\dfrac 12\implies \tan\alpha\tan\beta=\dfrac 12,\]于是根据椭圆的焦点弦长公式，有\[\begin{split} |AB|+|MN|&=\dfrac{4}{1+\sin^2\alpha}+\dfrac{4}{1+\sin^2\beta}\\ &=\dfrac{4}{1+\frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}}+\dfrac{4}{1+\frac{\tan^2\beta}{1+\tan^2\beta}}\\ &=\dfrac{4+4\tan^2\alpha}{1+2\tan^2\alpha}+\dfrac{4+4\tan^2\beta}{1+2\tan^2\beta}\\ &=\dfrac{4+4\tan^2\alpha}{1+2\tan^2\alpha}+\dfrac{8\tan^2\alpha+8\tan^2\alpha\tan^2\beta}{2\tan^2\alpha+4\tan^2\alpha\tan^2\beta}\\ &=6,\end{split}\]为定值，命题得证．