已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，设函数 \[ f_n(x)=-1+\binom n1 x+\binom n2 \frac{x^2}{2^2}+\binom n3 \frac{x^3}{3^2}+\cdots+\binom nn \frac{x^n}{n^2},x\in\mathbb R.\]
1、证明：对每个 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$ 且 $n \geqslant 2$．存在唯一的 $x_n \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right]$，满足 $f_n\left(x_n\right)=0$；
2、若 $\forall x>-1,f_2(x)+1 \geqslant a \ln (x+1)$，求 $a$；
3、证明：$f_n'(-1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$，其中 $f_n^{\prime}(x)$ 表示 $f_n(x)$ 的导数．
解析
1、根据题意，有 $f_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，且\[f_n(0)=-1,\quad f_n\left(\frac 12\right)>-1+\frac n2\geqslant 0,\]因此命题得证．
2、根据题意，有\[\forall x>-1,\left(-1+2x+\frac{x^2}4\right)+1\geqslant a\ln (x+1),\]即\[\forall x>-1,2x+\frac{x^2}4-a\ln (x+1)>0,\]设不等式左侧为函数 $g(x)$，则 $g(0)=0$，而\[g'(x)=2+\dfrac x2-\dfrac a{x+1},\]函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 处取得最小值，于是 $g'(0)=0$，解得 $a=2$，此时\[g'(x)=2+\dfrac x2-\dfrac 2{x+1}=\dfrac{x(x+5)}{2(x+1)},\]于是 $g(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，亦为最小值 $0$，符合题意．
3、根据题意，有\[f_n'(x)=\sum_{k=1}^n\binom nk\dfrac{x^{k-1}}{k},\]因此\[\left(xf_n'(x)\right)'=\sum_{k=1}^n\binom nkx^{k-1}=\frac 1x\sum_{k=1}^n\binom nkx^{k}=\dfrac{(1+x)^n-1}x=\sum_{k=1}^n(1+x)^{k-1},\]于是\[xf_n'(x)=\sum_{k=1}^n\frac 1k(x+1)^k+C,\]令 $x=0$，可得 $\displaystyle C=-\sum\limits_{k=1}^n\frac 1k$，于是\[xf_n'(x)=\sum_{k=1}^n\dfrac 1k(x+1)^k-\sum_{k=1}^n\frac 1k,\]再令 $x=-1$，即得欲证等式．