在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，$A(-2,0),B(2,0)$ 是两定点，动点 $T$ 与 $A, B$ 连线的斜率之积为 $-\dfrac 3 4$．
1、求动点 $T$ 的轨迹方程；
2、过点 $F(1,0)$ 的直线 $l$ 与 $T$ 的轨迹相交于点 $P,Q$，直线 $AP,AQ$ 与直线 $x=4$ 分别交于点 $M,N$．
① 证明：$MF\perp NF$；
② 记 $\triangle PFM,\triangle QFN,\triangle MFN$ 的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$，且 $S_3^2=20 S_1 S_2$，求直线 $l$ 的方程．
解析
1、根据椭圆的斜率积定义，动点 $T$ 的轨迹方程为 $\frac{x^2}4+\frac{y^2}3=1$（$x\ne \pm 2$）．
2、① 设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),M(4,y_3),N(4,y_4)$，则\[ \left(\frac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2},\frac{x_2y_1+x_1y_2}{y_1+y_2}\right)=(1,4)\iff (x_2y_1,x_1y_2)=\left(\frac 52y_1+\frac 32y_2,\frac 32y_1+\frac 52y_2\right),\]且\[\frac{y_3}{6}=\frac{y_1}{x_1+2},\quad \frac{y_4}{6}=\frac{y_2}{x_2+2},\]于是\[\frac{y_3y_4}{36}=\frac{y_1}{x_1+2}\cdot \frac{y_2}{x_2+2}=\frac{y_1}{x_1+2}\cdot \frac{x_2-2}{y_2}\cdot \left(-\frac 34\right)=\frac{x_2y_1-2y_1}{x_1y_2+2y_2}\cdot \left(-\frac 34\right)=-\frac14,\]所以\[ \overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=(3,y_3)\cdot (3,y_4)=9+y_3y_4=0,\]命题得证．
② 设直线 $AM$ 的参数方程为\[\begin{cases} x=-2+6t,\\ y=y_3t,\end{cases}\]设点 $P$ 对应的参数为 $t_1$（$t_1\ne 0$），将直线 $AM$ 的方程与椭圆方程联立可得\[\frac{(-2+6t_1)^2}4+\frac{y_3t_1}{3}=1\implies t_1=\frac{18}{27+y_3^2},\]于是\[S_1=\frac{|PM|}{|AM|}\cdot [\triangle AFM]=\frac 32|y_3(1-t_1)|=\frac 32|y_3|\cdot \frac{9+y_3^2}{27+y_3^2},\]同理，有\[S_2=\frac32|y_4|\cdot \frac{9+y_4^2}{27+y_4^2},\]而\[S_3=\frac 12\cdot |FM|\cdot |FN|=\frac 12\cdot \sqrt{9+y_3^2}\cdot \sqrt{9+y_4^2},\]因此\[S_3^2=20S_1S_2\implies \frac 14(9+y_3^2)(9+y_4^4)=20\cdot\frac 94\cdot |y_3y_4|\cdot \frac{(9+y_3^2)(9+y_4^2)}{(27+y_3^2)(27+y_4^2)},\]将 $y_3y_4=-9$ 代入可得\[(27+y_3^2)(27+y_4^2)=20\cdot 81\implies y_3^2+y_4^2=30,\]于是 $(y_3,y_4)=\left(\pm 3\sqrt 3,\mp\sqrt 3\right),\left(\pm \sqrt 3,\mp3\sqrt 3\right)$，进而 $^{[1]}$ 直线 $l$ 的斜率\[k=\frac{y_1}{x_1-1}=\frac{y_3t_1}{6t_1-3}=\frac{6y_3}{9-y_3^2}=\pm \sqrt 3,\]因此所求直线 $l$ 的方程为 $y=\pm\sqrt 3(x-1)$．
备注 $[1]$ 也可以利用曲线系求解，进而 $AP\cup AQ:\left(x+2\mp\frac{2}{\sqrt 3}y\right)\left(x+2\pm\frac{6}{\sqrt 3}y\right)=0$，展开可得\[x^2+4x+4\pm \frac{4}{\sqrt 3}xy\pm\frac{8}{\sqrt 3}y-4y^2=0,\]过椭圆与 $AP\cup AQ$ 交点 $A,P,Q$ 的二次曲线系为\[ \Gamma:(3x^2+4y^2-12)+\lambda\left(x^2+4x+4\pm \frac{4}{\sqrt 3}xy\pm\frac{8}{\sqrt 3}y-4y^2\right)=0,\]点 $F(1,0)$ 在该曲线上，可得 $\lambda=1$，从而\[\Gamma:x^2+x\pm\frac{1}{\sqrt 3}xy\pm\frac{2}{\sqrt 3}y-2=0,\]也即\[\Gamma:(x+2)\left(x\pm\frac{1}{\sqrt 3 }y-1\right)=0,\]因此直线 $PQ$ 的方程为 $x\pm\frac{1}{\sqrt 3 }y-1=0$．