已知 $x_1,x_2$ 为方程 $x^2-4 x+1=0$ 的两个实根，设 $a_n=\dfrac 1 2\left(x_1^n+x_2^n\right)$，下列结论正确的是（ ）
A．$a_3=26$
B．存在 $k\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $a_k a_{k+2}-a_{k+1}^2=2$
C．$a_{2026}$ 的个位数字为 $7$
D．$\dfrac{a_{2026}+1}2$ 为完全平方数
答案 ACD．
解析 根据求数列通项的特征根法，有 $a_0=1$，$a_1=2$，且\[a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n.\]
对于选项 $\boxed{A}$，$a_2=7$，$a_3=26$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，有\[\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=4=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}\implies a_na_{n+2}-a_{n+1}^2=a_{n-1}a_{n+1}-a_n^2,\]因此 $\{a_na_{n+2}-a_n^2\}$ 是常数列，各项均为 $3$，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline a_n\pmod{10}&1&2&7&6&7&2&1&2&7\\ \hline\end{array}\]于是\[a_{2026}\equiv a_4\equiv 7\pmod {10},\]选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，有\[\frac{a_{2n}+1}2=\frac{x_1^{2n}+x_2^{2n}+2}{4}=\frac{(x_1^n+x_2^n)^2}4=a_n^2,\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．