已知 $PA\perp~\text{平面}~\gamma$，垂足为 $A$，直线 $AC\subset\gamma$，$B,D$ 是 $\gamma$ 内的动点，且 $B,D$ 始终在 $AC$ 的两侧．
1、若 $AB\perp AD$，证明：$\triangle PBD$ 是锐角三角形；
2、若 $PA=AC=3$，$Q$ 是线段 $CP$ 上靠近 $C$ 的三等分点，$\angle CQB=\angle CQD=\dfrac{\pi}3$． ① 证明：二面角 $B-AP-D$ 为锐角； ② 直线 $PB,PD$ 与 $\gamma$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$，记 $\theta=\displaystyle\max\{\alpha,\beta\}$．若平面 $QBD\perp\gamma$，且 $\triangle PBD$ 不是任何一个长方体的截面，求 $\tan^2\theta$ 的最小值．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} PB^2=PA^2+AB^2,\\ PD^2=PA^2+AD^2,\\ BD^2=AB^2+AD^2,\end{cases}\]于是 $PB^2,PD^2,BD^2$ 中任意两个之和都大于第三个，根据余弦定理，$\triangle PBD$ 是锐角三角形．
2、① 在平面 $\gamma$ 内满足 $\angle CQT=\dfrac{\pi}3$ 的点 $R$ 的轨迹是平面 $\gamma$ 截以 $PC$ 为轴母线与轴夹角为 $\dfrac{\pi}3$ 的圆锥面所得的曲线．由 $\angle ACP=\dfrac{\pi}4$ 可得该曲线为双曲线，离心率为 $\frac{\cos\frac{\pi}4}{\cos\frac{\pi}3}=\sqrt 2$．在轴截面 $PAC$ 中，作圆锥面与直线 $AC$ 的交点 $S,T$ 即为双曲线的左、右顶点，利用正弦定理可得\[SC=3+\sqrt 3,\quad TC=3-\sqrt 3,\]于是在空间直角坐标系 $A-CyP$ 中，点 $R$ 的轨迹方程为 $x^2-y^2=3$，其渐近线夹角为直角，因此二面角 $B-AP-D$ 的大小即 $\angle BAD$ 为锐角．
② 设 $Q$ 在 $AC$ 上的投影为 $H$，根据题意，$\triangle PBD$ 是非锐角三角形，而\[PB^2+PD^2-BD^2=2PA^2+AB^2+AD^2-BD^2>0,\]因此 $\angle BPD$ 为锐角，不妨设 $ PB\leqslant PD $，则 $ \angle BPD $ 为钝角，进而\[PD^2-PB^2\geqslant BD^2\implies AD^2-AB^2\geqslant BD^2\implies \angle ABD\geqslant \frac{\pi}2,\]因此点 $B$ 平面 $\gamma$ 中以 $AH$ 为直径的圆及其内部，设 $ B(x,y),H(2,0)$，则\[\tan^2\theta=\tan^2\alpha=\dfrac{PA^2}{AB^2}=\dfrac{9}{x^2+y^2}=\dfrac{9}{2x^2-3},\]其中\[\begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x(x-2)-y^2\leqslant 0,\end{cases}\implies 2x^2-2x-3\leqslant 0\implies x\leqslant \dfrac{1+\sqrt 7}2,\]因此 $x$ 的最大值为 $\dfrac{1+\sqrt 7}2$，进而 $\tan^2\theta$ 的最小值为 $\dfrac32\left(\sqrt 7-1\right)$．