某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P & k(1-\alpha)^2 & k\alpha & k & k(1-\alpha)\\\hline \end{array}\]其中 $k>0$，$ 0<\alpha<1$．
1、当 $\alpha=\dfrac 1 2$ 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
2、已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 $\dfrac 1 3$，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
① 求该顾客为幸运客户的概率 $f(\alpha)$；
② 若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 $\dfrac 1 2$，求 $\alpha$ 的取值范围．
解析
1、根据题意，有\[\sum_{X=0}^3P=1\iff k(3-2\alpha+\alpha^2))=1,\]而\[E(X)=\sum_{X=0}^3(X\cdot P)=k(5-2\alpha)=\dfrac{5-2\alpha}{3-2\alpha+\alpha^2}=\dfrac{16}9.\]
2、① 设该顾客为幸运客户的事件为 $Y$，则有\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P(X=k) & k(1-\alpha)^2 & k\alpha & k & k(1-\alpha)\\\hline P(Y\mid X=k)&0&\frac 13&\frac 19&\frac{1}{27}+\frac{6}{27}\\ \hline \end{array}\] 于是该顾客为幸运客户的概率\[f(\alpha)=\sum_{k=0}^3\left(P(X=k)\cdot P(Y\mid X=k)\right)=\dfrac{k(10+2\alpha)}{27}=\dfrac{10+2\alpha}{27(3-2\alpha+\alpha^2)}.\]
② 根据题意，有\[k(1-\alpha)\cdot \dfrac 6{27}\geqslant \dfrac 12\cdot f(\alpha)\iff \dfrac{6k(1-\alpha)}{27}\geqslant \dfrac 12\cdot \dfrac{k(10+2\alpha)}{27}\iff \alpha\leqslant \frac 17,\]因此 $\alpha$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 17\right]$．