已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_{n+1}+(-1)^n S_n=2 n+1$，则 $a_6=$（ ）
A．$16$
B．$18$
C．$20$
D．$22$
答案 C．
解析 根据题意，有\[\begin{cases} a_{n+1}+(-1)^nS_n=2n+1,\\ a_{n+2}-(-1)^nS_{n+1}=2n+3,\end{cases}\implies a_{n+1}+a_{n+2}-(-1)^na_{n+1}=4n+4,\]于是\[a_{n+2}=\begin{cases} 4n+4-2a_{n+1},&n~\text{是奇数},\\ 4n+4,&n~\text{是偶数},\end{cases}\]因此当 $n\geqslant 4$ 时，有\[a_n=\begin{cases} 4n-4,&n~\text{是偶数},\\ 12-4n,&n~\text{是奇数},\end{cases}\]因此 $a_6=20$．
备注 当 $n\leqslant 3$ 时，$a_2=3+a_1$，$a_3=2-2a_1$，$a_1$ 可以是任何实数．