2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #11
定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足当 $n-1<x\leqslant n$ 时，$f(x)=(x-n+1)(x-n)^n$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$，则下列说法中正确的有（ ）
A．$f(x) f(x+1)\leqslant 0$
B．当 $t>0$ 时，若 $f(x)$ 在区间 $(t,2 t)$ 内恰有两个零点，则 $t$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 3 2,\dfrac 5 2\right)$
C．存在正实数 $a$ 和 $x_0$，使得 $x>x_0$ 时，有 $f(x)<\mathrm e^{-a x}$
D．当 $2\leqslant t<5$ 时，若 $f(x)$ 在区间 $(2 t-4,t+1)$ 内恰有两个极值点，则 $t$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 8 3,\dfrac{25}8\right)\cup\left(\dfrac{19}6,\dfrac{18}5\right)$
答案 AD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，根据题意，在区间 $x\in (n-1,n)$ 上，当 $n$ 为奇数时，$f(x)<0$；当 $n$ 为偶数时，$f(x)>0$；且 $f(k)=0$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，考虑以正整数 $k$ 为参数的不等式组\[\begin{cases} k-1\leqslant t<k,\\ k+1<2t\leqslant k+2,\end{cases}\]解集分别为\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline k&1&2&3&4&\geqslant 5\\ \hline \text{解集}&\varnothing&\left(\frac 32,2\right)&\left(2,\frac 52\right)&\{3\}&\varnothing\\ \hline \end{array}\]因此所求 $t$ 的取值范围是 $\left(\frac 32,2\right)\cup\left(2,\frac 52\right)\cup\{3\}$，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=(x-n)^{n-1}\left((n+1)x-n^2\right),\]因此 $f(x)$ 的极值点为 $x=\dfrac{n^2}{n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），进而对应极值为\[f\left(\dfrac{n^2}{n+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{n^n}{(n+1)^n}=\dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{1}{\left(1+\frac 1n\right)^n},\]当 $n-1<x\leqslant n$ 且 $n$ 为偶数时，有极值\[m>\dfrac{1}{x+2}\cdot \dfrac{1}{\mathrm e},\] 选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，考虑以正整数 $k$ 为参数的不等式组\[\begin{cases} \frac{k-1}{k^2}\leqslant 2t-4<\frac{k}{(k+1)^2},\\ \frac{k+1}{(k+2)^2}<t+1\leqslant \frac{k+2}{(k+3)^2},\end{cases}\]解集分别为\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline k&1&2&3&\geqslant 4\\ \hline \text{解集}&\varnothing&\left[\frac 83,\frac{25}8\right)&\left(\frac{19}6,\frac {18}5\right)&\varnothing\\ \hline \end{array}\]因此所求 $t$ 的取值范围是 $\left[\frac 8 3,\frac{25}8\right)\cup\left(\frac{19}6,\frac{18}5\right)$，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$．