2026年3月广东深圳市一模数学试卷 #14
已知 $a_1,a_2,\cdots,a_8$ 是 $8$ 个正整数，记\[S=\left\{a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots+a_{i_7}\mid 1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_7\leqslant 8\right\},\]其中 $i_1,i_2,\cdots,i_7\in\mathbb N^{\ast}$，若 $S=\{82,83,84,85,86,87,89\}$，则这 $8$ 个正整数中的最大数与最小数的和为_____．
答案 $23$．
解析 设这 $8$ 个正整数的和为 $m$，而 $S$ 中有 $7$ 个元素，它们的和为 $596$，进而\[\sum_{i=1}^8(m-a_i)=596+x\implies 7m=596+x,\]其中 $x\in S$，由于 $596\equiv 1\pmod 7$，于是 $x\equiv 6\pmod 7$，从而 $x=83$，$m=97$，这 $8$ 个正整数分别为 $8,10,11,12,13,14,14,15$，最大数与最小数之和为 $23$．