2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #13
已知 $\triangle ABC$ 的重心为 $G$，外心为 $O$，$OG\parallel BC$，则 $\tan B\tan C=$ _____．
答案 $3$．
解析 设 $\triangle ABC$ 的垂心为 $H$，则根据欧拉线性质，有 $2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}$，设 $OD\perp BC$ 于 $D$，$AE\perp BC$ 于 $E$，则 $AH=2OD=2HE$，如图．
根据题意，有\[\tan B\tan C=\dfrac{AE^2}{BE\cdot CE},\]又\[\tan B\tan C=\tan\angle CHE\tan\angle BHE=\dfrac{BE\cdot CE}{HE^2}=3^2\cdot \dfrac{BE\cdot CE}{AE^2},\]因此 $\tan B\tan C=3$．