2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #11
平面直角坐标系 $x Oy$ 中，已知圆 $O_1:(x+2)^2+y^2=1$，圆 $O_2: x^2+y^2=1$，圆 $O_3:(x-2)^2+y^2=1$．集合 $A_d$ 表示当 $O_1,O_2,O_3$ 到直线 $l$ 的距离之和为 $d$ 时，$l$ 与圆 $O_1,O_2,O_3$ 可能的总公共点个数，则（ ）
A．$A_1=\{4,5,6\}$
B．$A_2=\{3,4,5,6\}$
C．$A_3=\{2,3,4\}$
D．$A_4=\{0,1,2,3\}$
答案 BC．
解析 设直线 $l:Ax+By+C=0$，则 $O_1,O_2,O_3$ 到直线 $l$ 的有向距离为\[ (d_1,d_2,d_3)=\left(\dfrac{-2A+C}{\sqrt{A^2+B^2}},\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}},\dfrac{2A+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right),\]于是 $d_2=\frac 12(d_1+d_3)$，且 $| d_1-d_3|\leqslant 4$，不妨设 $d_2\geqslant 0$，而\[|d_1|+|d_2|+|d_3|=d,\]此外，当 $d_1=-d_2$ 时，直线 $l$ 过圆 $O_1,O_2$ 的公共点；当 $d_3=-d_2$ 时，直线 $l$ 过圆 $O_2,O_3$ 的公共点． 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，考虑点 $P(d_1,d_3)$ 的轨迹，方程为\[|x|+|y|+\frac 12|x+y|=d,\]对应曲线是六边形 $ABCDEF$，考虑到对称性只需要考虑 $P$ 在边 $AB$ 以及 $BC$ 的情形，其中 $A(\left(\frac 12d,-\frac 12d\right),B\left(\frac 23d,0\right),C\left(0,\frac 23d\right)$．用 $x=\pm 1,y=\pm 1$ 将坐标平面划分区域，并作直线 $x+3y=0$ 以及 $3x+y=0$（分别对应 $d_1=-2d_2$ 和 $d_3=-2d_2$ 的情形，如图．
设线段 $AB$ 与直线 $x+3y=0$ 的公共点为 $T$，则 \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline d&A&T&AB~\text{去}~T~\text{内部}& B& BC~\text{内部}&A_d\\ \hline 1&6&5&6&6&6&\{5,6\}\\ \hline 2&4&3&4&4&4,5,6&\{3,4,5,6\}\\ \hline 3&2&3&2,3,4&3&3&\{2,3,4\}\\ \hline 4&2&3&2,3,4&2&2,1,0&\{0,1,2,3,4\}\\ \hline \end{array}\]