2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #10
已知 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f^{\prime}(x)>3 x^2$，则（ ）
A．$f(x)>x^3$
B．$f(1)-f(-1)>2$
C．$f(x)$ 有且仅有一个零点
D．$f(x)+x\left(f^{\prime}(x)\right)^2$ 至少有一个零点
答案 BCD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，取 $f(x)=x^3+x-10$，则 $f(1)<1^3$，选项错误；
对于选项 $\boxed{B}$，设 $g(x)=f(x)-x^3$，则\[g'(x)=f'(x)-3x^2>0,\]于是 $g(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的单调递增函数，有\[g(1)>g(-1)\implies f(1)-1>f(-1)-(-1)\implies f(1)-f(-1)>2,\]选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，由于 $f'(x)>3x^2\geqslant 0$，于是 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，接下来证明 $f(x)$ 既有正函数值，也有负函数值，考虑到 $f(x)=g(x)+x^3$，于是当 $x>\max\left\{a,-\sqrt[3]{g(a)}\right\}$ 时，有\[f(x)>g(a)+x^3>0,\]当 $x<\min\left\{a,-\sqrt[3]{g(a)}\right\}$ 时，有\[f(x)<g(a)+x^3<0,\] 选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，设 $h(x)=f(x)+x\big(f'(x)\big)^2$，函数 $f(x)$ 的唯一零点为 $x_0$，则由于 $f(x)$ 单调递增，于是 $f(x_0),f(0)$ 的大小关于与 $x_0,0$ 的大小关系相同，于是\[h(0)\cdot h(x_0) =f(0)\cdot \left(x_0\big(f'(x_0)\big)^2\right)<0,\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．