2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #5
已知 $\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$，$\beta \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$，$ \sin \alpha \tan \beta=1$，则 $\dfrac{\alpha}{\beta}$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
答案 B．
解析 根据题意，设 $\sin\alpha=\cot \beta=t$，则 $t\in (0,1]$，如图．
由 $y=\sin x$ 在 $\left(0,\pi\right)$ 上凸以及 $y=\cot x$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 下凸可得 $\dfrac{\alpha}{\beta}\geqslant 2$，等号当 $(\alpha,\beta)=\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}4\right)$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．