2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #14
已知点 $A,B,C,D$ 均在半径为 $\sqrt 2$ 的球 $O$ 的球面上，$AB\perp AC$，$BC=2$，$AD=\sqrt 6$，则四面体 $D-ABC$ 的体积的最大值为 _____．
答案 $\dfrac{3+\sqrt 3}6$．
解析 根据题意，$\triangle ABC$ 的外接圆是以 $BC$ 为直径的小圆 $O_1$，且 $|OO_1|=1$，$\triangle ABC$ 面积的最大值为 $1$，过 $D$ 作平行于圆 $O_1$ 的截面得到小圆 $O_2$，则 $d(D,ABC)=|O_1O_2|$，当 $AD$ 为圆 $O_1,O_2$ 形成的圆台的母线时，$d(D,ABC)$ 取得最大值．
在 $\triangle AOD$ 中，$|OA|=|OD|=\sqrt 2$，$|AD|=\sqrt 6$，于是 $\angle AOD=120^\circ$，而 $\angle AOO_1=45^\circ$，于是 $\angle DOO_2=15^\circ$，因此四面体 $D-ABC$ 的体积的最大值为\[\dfrac 13\cdot (1+\sqrt 2\cos 15^\circ)=\dfrac{\sqrt 3+3}6.\]