2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #17
设抛物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，准线为 $l: x=-1$，点 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$（$y_2>y_1\geqslant 0$）在 $C$ 上，直线 $AB$ 与 $l$ 交于点 $M$，且 $A$ 是 $BM$ 的中点．
1、求 $C$ 的方程；
2、求 $\triangle BFM$ 面积的最小值；
3、若 $\angle MFB=\dfrac{2\pi}3$，求点 $A$ 的坐标．
解析
1、由准线方程为 $x=-1$，可得 $p=2$，于是 $C$ 的方程为 $y^2=4x$．
2、设 $A(4a^2,4a),B(4b^2,4b)$，则 $M(8a^2-4b^2,8a-4b)$，因此\[8a^2-4b^2=-1,\]设 $(a,b)=\left(\frac{\tan x}{2\sqrt 2},\frac{1}{2\cos x}\right)$，其中 $x\in\left[0,\frac{\pi}2\right)$，而\[\begin{split} [\triangle BFM]&=\dfrac 12\left|(4b^2-1)(8a-4b)-4b\cdot (-2)\right|\\ &=|16ab^2-8b^3-4a+6b|\\ &=\left|\dfrac{\sqrt 2\sin^3x-3\sin^2x+2}{\cos^3x}\right|,\end{split}\]设绝对值内部为函数 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)=\dfrac{3\left(\sqrt 2-\sin x\right)\sin^2x}{\cos^4x},\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi}2\right)$ 上单调递增，因此 $\triangle BFM$ 面积的最小值为 $2$，当 $x=0$ 时取得．
3、由 $\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{FB}{FA}=2$ 可得 $M$ 在 $\angle BFA$ 的外角平分线上，若 $\angle MFB=\dfrac{2\pi}3$，则 $\angle AFB=\dfrac{\pi}3$．设 $\angle AFO=\theta$，则根据抛物线的焦半径公式，有\[FA=\dfrac{2}{1+\cos\theta},\quad FB=\dfrac{2}{1+\cos\left(\theta+\frac{\pi}3\right)},\]于是\[FB=2FA\iff \cos\theta+1=2\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}3\right)+1\right)\iff \sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt 3},\]进而 $\cos\theta=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}$，于是 $AF=6-2\sqrt 6$，从而 $A$ 点坐标为\[(AF-1,AF\sin\theta)=\left(5-2\sqrt 6,2\sqrt 3-2\sqrt 2\right).\]