2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #16
在四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$CD=3$，$DA=4$，$AC,BD$ 交于点 $O$．
1、求 $2\cos\angle DAB-3\cos\angle DCB$ 的值；
2、求四边形 $ABCD$ 面积的最大值；
3、求 $\tan\angle AOB$ 的最大值．
解析
1、根据余弦定理，有\[ \begin{cases} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle DAB,\\ BD^2=CB^2+CD^2-2\cdot CB\cdot CD\cdot \cos\angle DCB,\end{cases}\]于是\[17-8\cos\angle DAB=13-12\cos\angle DCB\implies 2\cos \angle DAB-3\cos\angle DCB=1.\]
2、分别记 $AB,BC,CD,DA$ 于 $a,b,c,d$，四边形 $ABCD$ 的面积为 $S_{ABCD}$，在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中分别应用余弦定理，有\[\begin{cases} BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,\\ BD^2=b^2+c^2-2bc\cos C,\end{cases} \]又\[S_{ABCD}=\dfrac 12ad\sin A+\dfrac 12bc\sin C,\]于是可得\[\begin{cases} ad\cos A-bc\cos C=\dfrac 12\left(a^2-b^2-c^2+d^2\right),\\ ad\sin A+bc\sin C=2S_{ABCD},\end{cases} \]两式平方相加，移项可得\[S_{ABCD}^2=\dfrac 14\left(a^2d^2+b^2c^2\right)-\dfrac 1{16}\left(a^2-b^2-c^2+d^2\right)-\dfrac 12 abcd\cos (A+C),\]因此当 $A+C=\pi$ 时，四边形 $ABCD$ 的面积取最大值为 $2\sqrt 6$．
3、根据空间余弦定理，有\[\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\dfrac{(AD^2+BC^2)-(AB^2+CD^2)}2=10,\]于是\[\tan \angle AOB=\dfrac{AC\cdot BD\cdot \sin\angle AOB}{AC\cdot BD\cdot \cos\angle AOB}= \dfrac{2S_{ABCD}}{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}}\leqslant \dfrac{4\sqrt 6}5,\]等号当 $A,B,C,D$ 四点共圆时取得，因此 $\tan\angle AOB$ 的最大值为 $\dfrac{4\sqrt 6}5$．