已知以下事实：反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
1、求函数 $y=\dfrac{1}{2 x}$ 的图象 $C_0$ 的实轴长；
2、将曲线 $C_0$ 绕原点顺时针转 $\dfrac{\pi}{4}$，得到曲线 $C$．
① 写出曲线 $C$ 的方程．
② 已知点 $A$ 是曲线 $C$ 的左顶点，圆 $E:(x-1)^2+(y-1)^2=r^2$（$r>0$）与直线 $l: x=1$ 交于 $P,Q$ 两点，直线 $A P,A Q$ 分别与双曲线 $C$ 交于 $M,N$ 两点，试问：点 $A$ 到直线 $M N$ 的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时 $r$ 的值；若不存在，说明理由．
解析
1、考虑直线 $y=x$ 与函数图象的公共点 $\left(\pm\frac{1}{\sqrt 2},\pm\frac{1}{\sqrt 2}\right)$ 是双曲线的实轴端点，于是 $C_0$ 的实轴长为 $2$．
2、① 曲线 $C$ 是等轴双曲线 $x^2-y^2=1$；
② 根据题意，$A(-1,0)$，不妨设 $P(1,1+r),Q(1,1-r)$，设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则直线 $AM$ 过 $P$，直线 $AN$ 过 $Q$，有\[ \dfrac{1+r}2=\dfrac{y_1}{x_1+1}=\dfrac{x_1-1}{y_1}\implies (x_1,y_1)=\left(\dfrac{-2-2r-r^2}{-3+2r+r^2},\dfrac{-4-4r}{-3+2r+r^2}\right),\]注意消去 $r$ 的一次项 $^{[1]}$，于是\[\dfrac{y_1+2}{x_1+1}=\dfrac{5-r^2}{4},\]同理，将 $r$ 换成 $-r$，有\[\dfrac{y_2+2}{x_2+1}=\dfrac{5-r^2}4,\]因此直线 $MN$ 过定点 $^{[2]}$ $T(-1,-2)$，因此点 $A$ 到直线 $MN$ 的距离存在最大值为 $|AT|=2$，此时 $MN$ 为水平直线，所以 $r=\sqrt 5$．
$[1]$ 也可以注意直线 $AM,AN$ 的斜率之和为定值 $1$，然后化齐次联立．
$[2]$ 由于 $[P,Q;E,\infty]$，于是 $(AP,AQ;AE,x=-1)$ 是调和线束，设 $AQ,x=-1$ 交直线 $MN$ 于 $S,T$，则 $[S,T;M,N]$，由于 $S$ 在定直线 $AE:x-2y+1=0$ 上，于是 $T$ 是该极线对应的极点 $(-1,-2)$，即直线 $MN$ 过定点 $T(-1,-2)$．