已知在 $\triangle ABC$ 中，$B=\dfrac{2\pi}3$，$BC>AB$，点 $D$ 满足 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$，且 $BD=1$，则 $AC$ 的取值范围是_____．
答案 $\left(\dfrac 32,3\right)$．
解析 根据题意，有\[\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}\iff \overrightarrow{BD}=\dfrac 13\overrightarrow{BA}+\dfrac 23\overrightarrow{BC},\]于是设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，则\[1=\dfrac 19c^2+\frac 49a^2+\dfrac 49ca\cos B\iff 4a^2-2ac+c^2=9,\]而根据余弦定理，有\[b^2=a^2+c^2+ac=9\cdot \dfrac{a^2+c^2+ac}{4a^2-2ac+c^2}=9\cdot \dfrac{t^2+t+1}{4t^2-2t+1},\]其中 $t=\dfrac ac$ 且 $t>1$，设右侧为函数 $f(t)$，则其导函数\[f'(t)=27\cdot \dfrac{1-2t-2t^2}{(4t^2-2t+1)^2}<0,\]因此 $b^2$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 94,9\right)$，$b$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 32,3\right)$．