设 $a=\cos x+\cos(2x)+\cos(3x)$，$b=\sin x+\sin(2x)+\sin(3x)$，则 $a^2+b^2$ 的最大值是_____，最小值是_____．
答案 $9,0$．
解析 设 $z_k=\cos(kx)+\mathrm i\sin (kx)$（$k=1,2,3$），$z_1,z_2,z_3$ 在复平面上的对应点分别为 $Z_1,Z_2,Z_3$，则 $G\left(\dfrac a3,\dfrac b3\right)$ 是 $\triangle Z_1Z_2Z_3$ 的重心，且 $a^2+b^2=9|OG|^2$，而 $G$ 在单位圆内部（包括边界）． 当 $x=0$ 时 $^[1]$，$Z_1,Z_2,Z_3$ 重合，此时 $|OG|=1$； 当 $x=\dfrac{2\pi}3$ 时，$OZ_1,OZ_2,OZ_3$ 的两两夹角均为 $\dfrac{2\pi}3$，于是 $\triangle Z_1Z_2Z_3$ 为正三角形，此时 $^{[2]}$ $|OG|=0$，于是 $a^2+b^2$ 的最小值为 $0$．
$[1]$ 当 $z_1,z_2,z_3$ 同向时，有\[\tan x=\tan (2x)=\tan(3x)\iff \tan x=0,\]进而可得仅当 $x=2k\pi$（$k\in\mathbb Z$）时 $a^2+b^2$ 取得最大值，也可以用\[a^2+b^2=|z_1+z_2+z_3|^2\leqslant \left(|z_1|+|z_2|+|z_3|\right)^2=9,\]当 $x=0$ 时等号可以取到 $^{[1]}$，因此 $a^2+b^2$ 的最大值为 $9$．
$[2]$ 若 $a=b=0$，则 $\triangle Z_1Z_2Z_3$ 是正三角形，于是 $2x-x,3x-2x,x-3x$ 对应的角终边相同，因此仅当 $x=\dfrac{2k\pi}3$（$k\in\mathbb Z$）时 $a^2+b^2$ 取得最小值．