已知平面直角坐标系 $x O y$ 上一动点 $Q$ 满足 $|Q E|-|Q F|=2 \sqrt{2}$，$E(-\sqrt{3}, 0), F(\sqrt{3}, 0) $．
1、求点 $Q$ 的轨迹 $C$ 的方程；
2、斜率为 $ -1 $ 的直线与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $P(2,1)$．
① 求直线 $A P,B P$ 的斜率之和；
② $\triangle P A B$ 的外接圆圆心 $M$ 是否在某定直线上？说明理由．
解析
1、根据题意，$C$ 是以 $E,F$ 为焦点，$2\sqrt 2$ 为实轴长的双曲线右支，其方程为 $\dfrac{x^2}2-y^2=1$（$x\geqslant \sqrt 2$）．
2、① 平移坐标系，使 $P$ 为坐标原点．
新坐标系下 双曲线方程为\[\dfrac{(x+2)^2}{2}-(y+1)^2=1\iff \dfrac{x^2}{2}-y^2+(2x-2y)=0,\]设直线 $AB:mx+my=1$，化齐次联立可得\[\dfrac{x^2}2-y^2+2m(x-y)(x+y)=0,\]因此直线 $AP,BP$ 的斜率之和为 $0$．
② 考虑斜率互为相反数的直线方程相乘不会引入交叉项，于是设 $AB:x+y+m=0$，则考虑曲线系\[(x+y+m)(x-y-1)+\lambda \left(\dfrac{x^2}2-y^2-1\right)=0,\]注意 $x^2,y^2$ 前系数相等 $^{[1]}$，有\[1+\dfrac{\lambda}2=-1-\lambda\iff \lambda=-\dfrac 43,\]此时可得 $\triangle PAB$ 的外接圆方程为\[x^2+y^2+3(m-1)x-3(m+1)y-3m+4=0,\]于是其圆心 $\left(\frac 32(1-m),\frac 32(1+m)\right)$ 在定直线 $x+y-3=0$ 上．
$[1]$ 由于该方程不含 $xy$ 项，因此必然可以通过调整 $\lambda$ 使其表示 $\triangle PAB$ 的外接圆，从而方程即\[g(x,y)+m(x-y-1)=0,\]其中 $g(x,y)=0$ 是与 $x-y-1=0$ 相切于 $P(2,1)$ 的圆，因此这个圆系的圆心在过 $P$ 且与 $x-y-1=0$ 垂直的直线 $x+y-3=0$ 上．