已知对任意实数 $x\geqslant 2$，都有 $x^2+x+a\geqslant a^2+a\sqrt{x+2}$，则实数 $a$ 的取值范围是_____．
答案 $[-3,2]$．
解析 根据题意，有\[\forall x\geqslant 2,(x^2-2)^2+(x^2-2)+a\geqslant a^2+ax,\]即\[\forall x\geqslant 2,a^2+(x-1)a+(-x^4+3x^2-2)\leqslant 0.\]
必要条件探路 取 $x=2$，可得\[a^2+a-6\leqslant 0\iff -3\leqslant a\leqslant 2.\]
验证充分性 记不等式左侧为函数 $f(a)$，则其在闭区间 $[-3,2]$ 上的最大值在端点处取得，而\[f(-3)=-x^4+3x^2-3x+10=(2-x)(5+x+2x^2+x^3),\quad f(2)=(2-x)x(1+x)^2,\]当 $x\geqslant 2$ 时均不大于 $0$，因此充分性得证．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-3,2]$．