2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#18
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率等于 $2$，右焦点 $F$ 到其渐近线的距离等于 $\sqrt 3$．
1、求双曲线 $C$ 的方程；
2、经过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，以 $AB$ 为直径的圆记为圆 $M$．
① 求证：圆 $M$ 恒过某个定点，并求出此定点的坐标；
② 是否存在某个定圆与圆 $M$ 相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由．
解析
1、设双曲线 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b,>0$），则\[\begin{cases} \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=2,\\ b=\sqrt 3,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=1,\\ b^2=3,\end{cases}\]因此所求双曲线的方程为 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$．
2、① 圆 $M$ 恒过定点 $P(-1,0)$ $^{[1]}$，只需要证明 $PA\perp PB$．平移坐标系到以 $P$ 为原点．
新坐标系下 双曲线方程为\[(x-1)^2-\dfrac{y^2}3=1\iff x^2-\dfrac{y^2}3-2x=0,\]直线 $l$ 的方程为 $\dfrac x3+ty=1$，化齐次联立可得\[x^2-\dfrac{y^2}3-2x\left(\dfrac x3+ty\right)=0\iff -\dfrac {y^2}3-2txy+\dfrac{x^2}3=0,\]于是 $PA\perp PB$，命题得证．
② 设 $M(x_0,y_0)$，则可得中点弦直线 $l$ 的方程为\[x_0x-\dfrac{y_0y}{3}-1=x_0^2-\dfrac{y_0^2}3-1,\]该直线恒过 $F(2,0)$，于是\[2x_0=x_0^2-\dfrac{y_0^2}3-1,\]也即 $M$ 的轨迹为\[2x=x^2-\dfrac{y^2}3-1\iff (x-1)^2-\dfrac{y^2}3=1,\]该轨迹是以 $P(-1,0),Q(3,0)$ 为焦点，$2$ 为实轴长的双曲线，因此\[|MP-MQ|=2\iff MQ=MP\pm 2,\]于是存在定圆 $Q:(x-3)^2+y^2=4$ 满足要求．