2026年1月广东佛山市高三一模数学#18
已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{a(x+1)}{x-1}$（$a\neq 0$）．
1、讨论的 $f(x)$ 单调性；
2、若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，求 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$；
3、若 $f(x)$ 存在两个零点 $x_3,x_4$，在 $A\left(x_3,0\right),B\left(x_4,0\right)$ 处分别作曲线 $y=f(x)$ 的两条切线 $l_1,l_2$，证明：$l_1$ 与 $l_2$ 的交点在 $y$ 轴上．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac 12-\dfrac{a(x-1)-a(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2+2(a-1)x+1}{x(x-1)^2}=\dfrac{x+\frac 1x-2+2a}{(x-1)^2},\]当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,1),(1,+\infty)$ 上单调递增；当 $0<a<0$ 时，有\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&&1-a-\sqrt{a^2-2a}&&1&&1-a+\sqrt{a^2-2a}&&+\infty\\ \hline f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow&\\ \hline\end{array}\]
2、根据题意，有\[f\left(\dfrac 1x\right)=-f(x)\implies -\dfrac{1}{x^2}f'\left(\dfrac 1x\right)=-f'(x)\implies f'\left(\dfrac 1x\right)=x^2f'(x),\]于是若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，则 $x_1x_2=1$，此时 $f(x_1)+f(x_2)=0$．
3、根据第 $(2)$ 小题的结论，有 $x_3x_4=1$，而直线 $l_1$ 的纵截距为\[f(x_3)-x_3f'(x_3)=-x_3f'(x_3)=-\dfrac{1}{x_4}f'\left(\dfrac{1}{x_4}\right)=-\dfrac{1}{x_4}\cdot \left(x_4^2\cdot f'(x_4)\right)=f(x_4)-x_4f'(x_4),\]与直线 $l_2$ 的纵截距相同，命题得证．