2026年1月广东佛山市高三一模数学#11
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，对任意正实数 $t$，函数 $y=f(x+t)-f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，则（ ）
A．$f(0)<f(2)$
B．$2 f\left(\dfrac 4 3\right)<f\left(\dfrac 2 3\right)+f(2)$
C．若 $f(1)=1,f(2026)=2026$，则 $f(10)<10$
D．$\displaystyle\sum_{i=1}^{2026}f(i) <1013(f(1)+f(2026))$
答案 BCD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，取 $f(x)=(x-2)^2$，选项错误；
对于选项 $\boxed{B}$，取 $t=\dfrac 23$，则\[f\left(\dfrac 43+t\right)-f\left(\dfrac 43\right)>f\left(\dfrac 23+t\right)-f\left(\dfrac 23\right),\]选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，用反证法，若不然，有 $f(10)\geqslant 10$，则\[f(2026)-f(2017)>f(2017)-f(2008)>\cdots>f(19)-f(10)>f(10)-f(1)\geqslant 9,\]累加即得矛盾，选项正确； 对于选项 $\boxed{D}$，由\[f(1)+f(2026)>f(2)+f(2025)>f(3)+f(2024)>\cdots>f(1013)+f(1014),\]累加即得，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．
备注 导函数 $y'=f'(x+t)-f(x)\geqslant 0$，$f(x)$ 是下凸函数．