每日一题[4025]迭代向前

已知增函数 $f(x)$ 满足当 $x\in \mathbb N^{\ast}$ 时，$f(x)\in\mathbb N^{\ast}$，且 $f(f(n))=2n+1$，则（       ）

A．$f(1)=2$

B．$f(4)=6$

C．$f(2025)=2536$

D．$f(2^n)=3\cdot 2^{n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）

答案    ABD．

解析    根据题意，有\[f(f(1))=3\leqslant f(3)\implies f(1)\leqslant 3,\]检验可得 $f(1)=2$．而\[f(2n+1)=f(f(f(n)))=2f(n)+1,\]于是由 $f(1)=2$ 不断迭代可得\[f(2^n-1)=3\cdot 2^{n-1}-1,\]进而\[f(3\cdot 2^{n-1}-1)=f(f(2^n-1))=4\cdot 2^{n-1}-1,\]注意到\[ (3\cdot 2^{n-1}-1)-(2^n-1)=2^{n-1}=(4\cdot 2^{n-1}-1)-(3\cdot 2^{n-1}-1),\]于是当 $k=0,1,\cdots,2^{n-1}$ 时，有\[f(2^n-1+k)=3\cdot 2^{n-1}-1+k,\]也即当 $2\cdot 2^{n-1}-1\leqslant m\leqslant 3\cdot 2^{n-1}-1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）时，有\[3\cdot 2^{n-1}-1\leqslant f(m)=m+2^{n-1}\leqslant 4\cdot 2^{n-1}-1,\]接下来考虑当 $3\cdot 2^{n-1}\leqslant k\leqslant 4\cdot 2^{n-1}$ 时，有\[f(f(k))=2k+1\in \left[3\cdot 2^n+1,4\cdot 2^n+1\right],\]从而\[f(k)=(2k+1)-(3\cdot 2^n-1)+(2\cdot 2^n-1)=2k+1-2^n,\]综上所述，有\[f(n)=\begin{cases} n+2^r,& n\in [2\cdot 2^r-1,3\cdot 2^r-1],\\ 2n+1-2^{r+1},&n\in [3\cdot 2^r,4\cdot 2^r],\end{cases}\]其中 $r\in\mathbb N$．