已知双曲线 $\dfrac{x^2}{2}-y^2=1$，$A(-2,1),B(2,1)$ 是双曲线上的定点，过点 $M(0,-3)$ 的直线交双曲线于 $C,D$，直线 $AC,BD$ 交于点 $P$，则点 $P$ 的轨迹方程是_____．
答案 $x^2+(y-2)^2=5$．
解析 设 $P(x_0,y_0)$，则 $AB:f(x,y)=0$，其中 $f(x,y)=y-1$，记双曲线为 $g(x,y)=\dfrac{x^2}2-y^2-1$，则直线 $CD$ 的方程为\[ g(P)\cdot f(x,y)-2f(P)\cdot g_P(x,y)=0,\]即\[\left(\dfrac{x_0^2}2-y_0^2-1\right)(y-1)-2(y_0-1)\left(\dfrac{x_0x}{2}-y_0y-1\right)=0,\]该直线过定点 $(0,-3)$，于是\[\left(\dfrac{x_0^2}2-y_0^2-1\right)\cdot (-4)-2(y_0-1)\left(3y_0-1\right)=0,\]即\[x_0^2+y_0^2-4y_0-1=0,\]因此点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+(y-2)^2=5$．