已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为非负数，前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_{n+1}^2+a_{n+1}-a_n^2-1=0$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），以下结论正确的有（ ）
A．当 $a_1=1$ 时，$\left\{a_n\right\}$ 为常数列
B．对任意 $a_1 \in[0,1)$，存在常数 $M>0$，使得 $a_n<M$ 恒成立
C．当 $a_1 \in(1,+\infty)$ 时，$\left\{a_n\right\}$ 为递增数列
D．对任意 $n \in \mathbb{~N}^{\ast}$，有 $S_n>n-2$ 恒成立
答案 AD．
解析 根据题意，有\[a_{n+1}=\dfrac{-1+\sqrt{4a_n^2+5}}2,\]设迭代函数为 $f(x)=\dfrac{-1+\sqrt{4x^2+5}}2$，这是双曲线的一支，且不动点为 $x=1$，如图．
对于选项 $\boxed{A}$，$a_1=1$ 为不动点，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，当 $a_1\in [0,1)$ 时，$a_n\to 1$，于是 $\{S_n\}$ 无界，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，当 $a_1\in(1,+\infty)$ 时，$f(x)<x$，于是 $\{a_n\}$ 递减，且 $a_n\to 1$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，根据之前的分析，只需要考虑当 $a_1\in [0,1)$ 的情形，此时 $a_n\in [0,1)$ 且 $a_n\to 1$，于是有\[1-a_{n+1}=a_{n+1}^2-a_n^2\implies n-(S_{n+1}-a_1)=a_{n+1}^2-a_1^2,\]因此\[S_{n+1}=n+a_1^2+a_1-a_{n+1}^2>n-1,\] 选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$．