已知定义在区间 $[0,+\infty)$ 上的函数 $y=f(x)$ 满足： ① 对任意的 $x,y>0$，都有 $f(x+y)=f\big(x\cdot f(y)\big)\cdot f(y)$； ② $f(2)=0$； ③ 当 $0<x<2$ 时，总有 $f(x)\ne 0$． 那么，$f(3)+f\left(\dfrac 12\right)=$ _____．
答案 $\dfrac 43$．
解析 试探一 在 ① 中，令 $y=2$ 并代入 ②，当 $x>0$ 时，有\[f(x+2)=f\big(x\cdot f(2)\big)\cdot f(2)=0,\]于是当 $x\geqslant 2$ 时，$f(x)=0$；
试探二 在 ① 中，考虑 $x+y=2$ 且 $y\in (0,2)$，有\[f(2)=f\big((2-y)\cdot f(y)\big)\cdot f(y),\]而根据 ③，此时 $f(y)\ne 0$，而 $f(2)=0$，因此\[f\big((2-y)\cdot f(y)\big)=0,\]此时 $(2-y)\cdot f(y)\geqslant 2$，且根据 ③，$f(y)=\dfrac{2}{2-y}$ 符合题意． 若 $f(y)>\dfrac{2}{2-y}$，则 $f(y)>1$，考虑令\[x+y=x\cdot f(y)\iff x=\dfrac{y}{f(y)-1},\]此时利用 ①，可得\[f(x+y)=f(x+y)\cdot f(y)\iff (f(y)-1)\cdot f(x+y)=0,\]矛盾．因此当 $y\in (0,2)$ 时，有 $f(y)=\dfrac{2}{2-y}$．
回到问题 $f(3)+f\left(\dfrac 12\right)=0+\dfrac 43=\dfrac 43$．