将一个棱长都等于 $1$ 的正四棱锥的侧面和一个棱长都等于 $1$ 的正四面体的一个面重合在一起，得到的几何体的面数为（ ）
A．$5$
B．$6$
C．$7$
D．$8$
答案 A．
解析 如图，$P-ABCD$ 为正四棱锥，$P-ABE$ 为正四面体．
直接计算 利用三射线定理，可得\[ \begin{cases} \cos\angle ABC=\cos\angle PBA\cdot\cos\angle PBC+\sin\angle PBA\cdot\sin\angle PBC\cdot \cos\langle A-PB-C\rangle ,\\ \cos\angle ABE=\cos\angle PBA\cdot\cos\angle PBE+\sin\angle PBA\cdot\sin\angle PBE\cdot\cos\langle A-BP-E\rangle ,\end{cases} \]于是\[\begin{cases} 0=\frac 12\cdot \frac 12+\frac{\sqrt 3}2\cdot \frac{\sqrt 3}2\cdot \cos\langle A-PB-C\rangle,\\ \frac 12=\frac 12\cdot \frac 12+\frac{\sqrt 3}2\cdot \frac{\sqrt 3}2\cdot \cos\langle A-PB-E\rangle,\end{cases}\]两式相加可得 $ \cos\langle A-PB-C\rangle+ \cos\langle A-PB-E\rangle=0$，于是这两个二面角互补，因此 $P,B,C,E$ 共面，所得几何体为三棱柱，面数为 $5$．
补形 在正四棱锥 $P-ABCD$ 的左侧并排放置一个一样的正四棱锥 $E-GFBA$，则侧面 $PBC$ 沿 $\overrightarrow{CB}$ 平移得到 $EFB$，因此 $P,B,C,E,F$ 共面 $^{[1]}$，以下略．