布朗运动是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在 $1$ 号仓，则试验结束时该粒子是从 $1$ 号仓到达容器外的概率为_____．
答案 $\dfrac{10}{13}$．
解析 设初始位置为 $k$ 号仓，最终从 $1$ 号仓到达容器外的概率为 $P_k$（$k=1,2,3$），则\[\begin{cases} P_1=\dfrac 23\cdot 1+ \dfrac 13\cdot P_2,\\ P_2=\dfrac 13\cdot P_1+\dfrac 13\cdot 0+\dfrac 13\cdot P_3,\\ P_3=\dfrac 12\cdot P_2+\dfrac 12\cdot 0,\end{cases}\iff \begin{cases} P_2=3P_1-2,\\ P_3=\dfrac 32P_1-1,\\ 3P_2=P_1+P_3,\end{cases}\]从而解得 $(P_1,P_2,P_3)=\left(\dfrac{10}{13},\dfrac{4}{13},\dfrac{2}{13}\right)$，因此所求概率为 $\dfrac{10}{13}$．