已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左顶点 $A$，直线 $y=k x$（$k>0$）与 $C$ 的右支交于一点 $M$，点 $M$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $N$．若 $\tan \angle M A N=\dfrac{4}{k}$，则 $C$ 的率心率为_____．
答案 $\sqrt 3$．
解析 设 $M$ 关于原点的对称点为 $M'$，以 $A$ 为基准点，直线 $AM,AM',AN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,-k_2$，则直线 $MM'$ 的方程为\[ k_1k_2(x-a)+\dfrac{b^2}{a^2}(x+a)=(k_1+k_2)y,\]而根据双曲线的垂径定理，有\[k_1k_2=\dfrac{b^2}{a^2},\]于是\[k=\dfrac{2b^2}{a^2(k_1+k_2)},\]进而\[\tan \angle MAN=\dfrac 4k\iff \dfrac{k_1-(-k_2)}{1+k_1\cdot (-k_2)}=-\dfrac 4k\implies k(k_1+k_2)=4(k_1k_2-1),\]也即\[\dfrac{2b^2}{a^2}=4\left(\dfrac{b^2}{a^2}-1\right)\iff \dfrac{b^2}{a^2}=2,\]因此双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt 3$．
设双曲线参数方程为 $(x,y)=\left(a\cdot \dfrac{1+t^2}{1-t^2},b\cdot \dfrac{2t}{1-t^2}\right)$，$M$ 对应的参数为 $t$（$0<t<1$），则直线 $OM,AM,AN$ 的斜率分别是\[k=\dfrac ba\cdot \dfrac{2t}{1+t^2},\quad k_{AM}=\dfrac ba\cdot t,\quad k_{AN}=-\dfrac ba\cdot \frac 1t,\]于是由 $\tan\angle MAN=\dfrac 4k$ 可得\[\dfrac{k_{AM}-k_{AN}}{1+k_{AM}\cdot k_{AN}}=\dfrac 4k\iff \dfrac{mt-\left(-\frac mt\right)}{1+mt\cdot \left(-\frac mt\right)}=-\dfrac {4(1+t^2)}{2mt},\]即\[m^2=2(m^2-1)\iff m^2=2,\]其中 $m=\frac ba$，因此所求离心率为 $\sqrt 3$．