已知 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，过定点 $P(1,0)$ 的直线交椭圆于 $M,N$ 两点，$R$ 为 $MN$ 中点，$O$ 为坐标原点，直线 $OR$ 交直线 $x=4$ 于点 $Q$，直线 $BN,AM,PQ$ 的斜率分别为 $k_{BN},k_{AM},k_{PQ}$，求证：$k_{BN}\left(k_{AM}-k_{PQ}\right)$ 为定值．
答案 定值为 $\dfrac 14$．
解析 以 $A$ 为基准点，设直线 $AM,AN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则直线 $MN$ 的方程为\[4k_1k_2(x+2)+(2-x)=4(k_1+k_2)y,\]直线 $MN$ 过点 $P(1,0)$，于是\[k_1k_2=-\dfrac{1}{12},\]进而直线 $MN$ 的方程为\[(k_1+k_2)y=-\dfrac 13x+\dfrac 13,\]从而直线 $MN$ 的斜率\[k_{MN}=-\dfrac{1}{3(k_1+k_2)},\]根据椭圆的垂径定理，直线 $OQ$ 的斜率 $k_{OQ}$ 和直线 $NB$ 的斜率满足\[k_{NA}\cdot k_{NB}=k_{OQ}\cdot k_{MN}=-\dfrac14\implies k_{OQ}=\dfrac 34(k_1+k_2),k_{BN}=-\dfrac{1}{4k_2},\]进而\[k_{PQ}=k_1+k_2,\]因此\[k_{BN}\left(k_{AM}-k_{PQ}\right)=-\dfrac{1}{4k_2}\cdot \left(k_1-(k_1+k_2)\right)=-\dfrac14,\]为定值．