已知椭圆 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$ 上关于原点 $O$ 对称的两点 $A(2,1),B(-2,-1)$，直线 $CD$ 过定点 $P(1,-2)$，直线 $BC,AD$ 的斜率分别记为 $k_1,k_2$，求证：$k_1k_2-2k_1$ 为定值．
答案 定值 $\dfrac 12$．
解析 以 $A$ 为基准点，设直线 $AC,BD$ 的斜率分别为 $k_3,k_4$，则根据椭圆的垂径定理，有\[k_1k_3=k_2k_4=-\dfrac 12,\]直线 $CD$ 的方程为\[k_2k_3(2x-2y-6)+(y-x-3)=(k_2+k_3)(x+2y),\]直线 $CD$ 过点 $P(1,-2)$，于是\[k_2+k_3=2,\]于是\[k_1k_2-2k_1=k_1k_2-(k_2+k_3)k_1=-k_1k_3=\dfrac 12,\]为定值．