已知 $\triangle ABC$ 的内切圆为单位圆 $O$，且 $A(t,-1),B(t+5,-1)$，其中 $t\in [-4,-1]$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最小值为_____．
答案 $\dfrac{125}{21}$．
解析 设 $C(x_0,y_0)$，其中 $y_0>1$，则 $C$ 对圆 $O$ 的双切线 $CA\cup CB$ 的方程为 \[(x_0^2+y_0^2-1)(x^2+y^2-1)=(x_0x+y_0y-1)^2,\]与直线 $AB:y=-1$ 联立可得\[(y_0^2-1)x^2+2x_0(y_0+1)x-(y_0+1)^2=0,\]因此由 $|AB|=5$ 可得\[\dfrac{4x_0^2(y_0+1)^2-4(y_0^2-1)(y_0+1)^2}{|y_0^2-1|}=5\iff 4x_0^2=21y_0^2-50y_0+29,\]因此\[21y_0^2-50y_0+29\geqslant 0\iff (y_0-1)(21y_0-29)\geqslant 0\iff y_0\geqslant \dfrac{29}{21},\]等号当 $x_0=0$ 时取得，因此所求面积的最小值为 $\dfrac 12\cdot |AB|\cdot \dfrac{29}{21}=\dfrac{125}{21}$．