已知双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 上的动点 $A$，过 $A$ 作两条渐近线的平行线分别交双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=-1$ 于 $B,C$ 两点，求证：直线 $BC$ 过定点．
答案 定点 $(0,0)$．
解析 设 $A(x_0,y_0)$，且\[\begin{cases} AB:\frac 12(x-x_0)+(y-y_0)=0,\\ AC:\frac 12(x-x_0)-(y-y_0)=0,\end{cases}\]于是直线 $BC$ 的方程为\[\left(\frac 12(x-x_0)+(y-y_0)\right)\left(\frac 12(x-x_0)-(y-y_0)\right)-\left(\dfrac{x^2}4-y^2+1\right)-\left(\dfrac{x_0^2}4-y_0^2-1\right)=0,\]也即\[\dfrac{x_0x}4-y_0y=0,\]因此直线 $BC$ 过定点 $(0,0)$．