已知椭圆 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$ 的上、左、下、右顶点分别为 $A,B,C,D$，点 $P$ 是椭圆上第一象限内的一动点，直线 $PD$ 与直线 $MN$ 交于点 $M$，直线 $PA$ 与过 $C$ 且与 $x$ 轴平行的直线交于点 $N$，求证：$MN\parallel CD$．
解析 以 $A,D$ 为基准点，设 $PA,PD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则椭圆方程 $4x^2+9y^2-36=0$ 即\[ 4x(x-3)+9y(y-2)-6\big((x-3)(y-2)-xy\big)=0,\]于是\[4+9k_1k_2-6k_1+6k_2=0.\] 联立直线 $BC$ 和直线 $PD$，可得\[\begin{cases} 2x+3y+6=0,\\ y=k_2(x-3),\end{cases}\implies M\left(\dfrac{9k_2-6}{3k_2+2},\dfrac{-12k_2}{3k_2+2}\right),\]联立直线 $y=-2$ 和直线 $PA$，可得\[\begin{cases} y=-2,\\ y=k_1x+2,\end{cases}\implies N\left(-\dfrac{4}{k_1},-2\right),\]因此直线 $MN$ 的斜率为\[ \dfrac{\frac{-12k_2}{3k_2+2}+2}{\frac{9k_2-6}{3k_2+2}+\frac 4{k_1}}=\dfrac{-6k_1k_2+4k_1}{9k_1k_2-6k_1+12k_2+8}=\dfrac{-6k_1k_2+4k_1}{9k_1k_2-6k_1+12k_2+2(-9k_1k_2+6k_1-6k_2)}=\dfrac 23,\]命题得证．