已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，$A,B$ 分别是椭圆的左顶点和上顶点，$P,Q$ 是椭圆上关于原点 $O$ 对称的两点，直线 $PA$ 交 $y$ 轴于点 $M$，直线 $QA$ 交直线 $y=\sqrt 3$ 于点 $N$，求证：$MN\parallel BP$．
解析 以 $A,B$ 为基准点，设 $PA,PB,QA,QB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，则根据椭圆的垂径定理，有\[k_1k_3=k_2k_4=-\frac 34,\]而椭圆方程 $3x^2+4y^2-12=0$ 可以变形为\[3(x+2)x+4y(y-\sqrt 3)+2\sqrt 3\big((x+2)(y-\sqrt 3)-xy\big)=0,\]于是\[3+4k_1k_2+2\sqrt 3k_2-2\sqrt 3k_1=0.\]由直线 $PA:y=k_1(x+2)$ 可得 $M(0,2k_1)$，联立直线 $AN:y=k_3(x+2)$ 和直线 $y=\sqrt 3$，可得 $N\left(\frac{\sqrt 3}{k_3}-2,\sqrt 3\right)$，于是直线 $MN$ 的斜率为\[\dfrac{2k_1-\sqrt 3}{2-\frac{\sqrt 3}{k_3}}=\dfrac{2\sqrt 3k_1-3}{2\sqrt 3+4k_1}=k_2,\]命题得证．