2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11
设正整数 $m=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots+a_{n-1}\cdot 2^{n-1}+a_n\cdot 2^n$，其中 $a_i\in\{0,1\}$（$i=0,1,\cdots,n$），记 $S(m)$ 为上述表示中 $a_i$ 为 $1$ 的个数．例如：$5=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2$，所以 $S(5)=2$．已知集合 $A=\left\{1,2,3,\cdots,2^n-1\right\}$，下列说法正确的是（ ）
A．$S(20)=2$
B．对任意的 $m\in A$，有 $S(m)+S\left(2^n-m\right)=n$
C．若 $m\in A$，则使 $S(m)=k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$，$1\leqslant k\leqslant n$）成立的 $m$ 的取值个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ n^k$
D．$\displaystyle\sum_{m=1}^{2^n-1}S(m)=n\cdot 2^{n-1}$
答案 ACD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，有 $20=10100_{(2)}$，于是 $S(20)=2$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，取 $(n,m)=(2,1)$，则\[S(m)+S(2^n-m)=S(1)+S(3)=1+2=3,\]选项不正确，事实上，$m$ 和 $(2^n-1-m)$ 在二进制下为互补的 $n$ 位数，因此\[S(m)+S(2^n-1-m)=n.\]
对于选项 $\boxed{C}$，即二进制 $n$ 位数中包含 $k$ 个 $1$ 的情形数，为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ n^k$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，由于\[\sum_{m=1}^{2^n-1}S(m)=\sum_{m=0}^{2^n-1}S(m)=\dfrac 12\sum_{m=0}^{2^n-1}\left(S(m)+S(2^n-1-m)\right)=\dfrac 12\sum_{m=0}^{2^n-1}n=n\cdot 2^{n-1},\]选项正确；
综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．