每日一题[3779]相似相交

2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #10

已知 $O$ 是坐标原点，对任意 $\lambda>1$，函数 $f(x)$ 的图象上总存在不同两点 $A,B$，使得 $\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}$，则下列选项中满足条件的 $f(x)$ 有（       ）

A．$f(x)=\mathrm e^x$

B．$f(x)=\dfrac{x-1}{x-2}$

C．$f(x)=\sin x$

D．$f(x)=(x-1)^2$

答案    ACD．

解析    设 $A,B$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$，则

$$\overrightarrow{OA}=\lambda \overrightarrow{OB}\iff \dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}=\dfrac{x_2}{x_1}={\lambda}\iff f(\lambda x_1)=\lambda f(x_1),$$ 因此题意即对任意 $a >1$，关于 $x$ 的方程 $f(ax) = a\cdot f(x)$ 有解．

对于选项 $\boxed{A}$，上述方程即

$$\mathrm e^{ax}=a \mathrm e^{x}\iff ax=\ln a+x\iff x=\dfrac{\ln a}{a-1},$$ 选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，上述方程即

$$\dfrac{ax-1}{ax-2}=\dfrac{a(x-1)}{x-2}\iff ax^2+(a+1)x+2=0,$$ 其判别式 $$\Delta=(a+1)^2-8a=a^2-6a+1,$$ 因此当 $a=2$ 时该方程无解，选项错误．

对于选项 $\boxed{C}$，上述方程即

$$\sin(ax)-a\sin x=0,$$ 记方程左侧为 $g(x)$，则 $$g\left(-\dfrac{\pi}2\right)\geqslant -1+a>0,\quad g\left(\dfrac{\pi}2\right)\leqslant 1-a<0,$$ 于是方程 $g(x)=0$ 在 $x\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上有实数解，选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，上述方程即

$$(ax-1)^2=a(x-1)^2\iff ax^2-1=0\iff x=a^{-\frac 12},$$ 选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．