每日一题[3747]模同余

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #21

给定数列 $A: a_1,a_2,a_3,a_4$ 和序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，其中 $T_t=\left(d_{t,1},d_{t,2},d_{t,3},d_{t,4}\right)$（$t=1,2,\cdots,s$）满足：

① $d_{t,i}\in\{-1,3\}$（$i=1,2,3,4$）；

② $d_{t,1}+d_{t,2}+d_{t,3}+d_{t,4}=0$．

对数列 $A$ 进行如下 $s$ 次变换：将 $A$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{1,1},d_{1,2},d_{1,3},d_{1,4}$ 后得到的数列记作 $T_1(A)$； 将 $T_1(A)$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{2,1},d_{2,2},d_{2,3},d_{2,4}$ 后得到的数列记作 $T_2 T_1(A)$； $\cdots\cdots$； 以此类推，得到数列 $T_s\cdots T_2 T_1(A)$，简记为 $\Omega (A)$．

1、已知数列 $A: 7,8,4,4$，写出一个序列 $\Omega: T_1,T_2$，使得 $\Omega (A)$ 为 $5,6,6,6$；

2、对数列 $A: 4,6,7,8$，是否存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等？若存在，写出一个序列 $\Omega$，若不存在，说明理由；

3、对数列 $A: 3,7,14,m$，若存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$（$s\leqslant 10$），使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等，求 $m$ 的所有取值．

解析

1、设 $\Omega(A)=T_s\cdots T_2T_1(A)$，则容易证明 $\Omega(A)$ 与 $T_1,T_2,\cdots,T_s$ 的顺序无关，记为 $t_i$ 是第 $i$ 个数为 $3$，其余各数为 $-1$ 的排列，其中 $i=1,2,3,4$，则 $$T_k\in\{t_1,t_2,t_3,t_4\},\quad k=1,2,\cdots,s$$ 设 $T_k$（$k=1,2,\cdots,s$）中取 $t_1,t_2,t_3,t_4$ 的分别有 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 个，则 $$x_1+x_2+x_3+x_4=s,$$ 进而对数列 $A:a_1,a_2,a_3,a_4$ 来说，$a_1$ 增长了 $$3x_1-x_2-x_3-x_4=4x_1-(x_1+x_2+x_3+x_4)=4x_1-s,$$ 从而 $$\Omega(A):a_1-s+4x_1,a_2-s+4x_2,a_3-s+4x_3,a_4-s+4x_4.$$ 对数列 $A:7,8,4,4$，若 $s=2$，$\Omega(A):5,6,6,6$，则 $$\begin{cases} 7-s+4x_1=5,\\ 8-2+4x_2=6,\\ 4-2+4x_3=6,\\ 4-2+4x_4=6,\\ x_1+x_2+x_3+x_4=2,\end{cases}\iff \begin{cases} x_1=0,\\ x_2=0,\\ x_3=1,\\ x_4=1,\end{cases}$$ 因此 $\Omega:t_3,t_4$ 或 $\Omega:t_4,t_3$．

2、根据题意，有 $$\Omega(A):4-s+4x_1,6-s+4x_2,7-s+4x_3,8-s+4x_4,$$ 模 $4$ 下为 $$\Omega(A)\pmod 4:-s,2-s,3-s,-s,$$ 不可能恰有三项相等．

3、根据题意，有 $$\Omega(A):3-s+4x_1,7-s+4x_2,14-s+4x_3,m-s+4x_4,$$ 模 $4$ 下为 $$\Omega(A)\pmod 4:3-s,3-s,2-s,m-s,$$ 因此 $m\equiv 3\pmod 4$，设 $m=4n+3$（$n\in\mathbb Z$），则 $$3-s+4x_1=7-s+4x_2=(4n+3)-s+4x_4\iff x_1=1+x_2=n+x_4,$$ 而 $x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb N$ 且 $x_1+x_2+x_3+x_4\leqslant 10$，进而 $$(n+x_4)+(n-1+x_4)+x_3+x_4\leqslant 10\implies 2n-1+3x_4\leqslant 10\implies 3x_4\leqslant 11-2n,$$ 而 $n+x_4=1+x_2\geqslant 1$，于是 $x_4\geqslant \max\{1-n,0\}$，从而 $$\begin{cases} 3(1-n)\leqslant 11-2n,\\ 0\leqslant 11-2n,\end{cases}\implies -8\leqslant n\leqslant 5,$$ 且当 $-8\leqslant n\leqslant 5$ 时，取 $$(x_1,x_2,x_4)=\begin{cases} (1,0,-n),&-8\leqslant n\leqslant 0,\\ (n,n-1,0),&1\leqslant n\leqslant 5,\end{cases}$$ 而 $x_3$ 可取 $0$ 到 $10-x_1-x_2-x_3$ 中的任意自然数，因此 $m$ 的所有可能取值为 $4n+3$（$-8\leqslant n\leqslant 5$ 且 $n\in\mathbb Z$）．