2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #10
如图 $1$ 所示，在正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 中，底面边长为 $1$，侧棱长为 $2$，$\overrightarrow{BB_2}=\lambda\overrightarrow{BB_1}$，$\overrightarrow{DD_2}=\lambda\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{FF_2}=\lambda\overrightarrow{FF_1}$，$0<\lambda<1$．在正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 中，截去三棱锥 $B_2-ABC$，$D_2-CDE$，$ F_2-EFA$，再分别以 $AC,CE,EA$ 为轴将 $\triangle ACB_2,\triangle CED_2,\triangle EAF_2$ 分别向上翻转 $180^{\circ}$，记 $B_2,D_2,F_2$ 三点重合的点为 $P$，围成的曲顶多面体如图 $2$ 所示．记正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 的表面积与体积分别为 $S_1,V_1$，当 $\lambda=\dfrac 1 4$ 时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为 $S_2,V_2$，则下述判断正确的是（ ）
A．$S_1<S_2$，$V_1=V_2$
B．$S_1<S_2$，$V_1<V_2$
C．$S_1>S_2$，$V_1=V_2$
D．$S_1>S_2$，$V_1>V_2$
答案 C．
解析 对于三棱锥 $B-AB_2C$ 而言，在翻转过程中体积不变，对表面积的贡献变化为\[[\triangle AB_2C]-[\triangle BAB_2]-[\triangle BCB_2]-[\triangle BAC]<0,\]于是选项 $\boxed{C}$ 正确．