每日一题[3726]生成数列

2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #21

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为各项均为整数的无穷递增数列，且 $a_1=1$．对于 $\left\{a_n\right\}$ 中的任意一项 $a_k$（$k\geqslant 3$）， 在 $\left\{a_n\right\}$ 中都存在两项 $a_i,a_j$（$i<j$），使得 $a_k=2 a_j-a_i$ 或 $a_k=\dfrac{a_j^2}{a_i}$．

1、若 $a_2=3$，$a_5=25$，写出 $a_4$ 的所有可能值；

2、若 $a_m=2025$．

① 当 $a_2=3$ 时，求 $m$ 的最大值；

② 当 $a_2=2$ 时，求 $m$ 的最小值．

解析

1、若 $k\geqslant 3$ 且 $a_k=2a_j-a_i$ 或 $a_k=\dfrac{a_j^2}{a_i}$（$i<j$），称 $a_k$ 由 $(i,j)$ 生成，记作 $(i,j)\to a_k$，显然有 $i<j<k$．特别的，若 $a_k=2a_j-a_i$，则称 $a_k$ 由 $(i,j)$ 等差生成，若 $a_k=\dfrac{a_j^2}{a_i}$，则称 $a_k$ 由 $(i,j)$ 等比生成．

根据题意，有 $(1,2)\to 3$，于是 $a_3=5,9$，进而 $$(1,3)\to 9,25,17,81,\quad (2,3)\to 7,\dfrac{25}3,15,27,$$ 去掉其中不是整数以及不小于 $25$ 的，可得 $a_4=7,9,15,17$，经验证，这些值都有可能取到，因此 $a_4$ 的所有可能值为 $7,9,15,17$．

2、① $m$ 的最大值为 $1013$． 一方面，取 $a_n=2n-1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则 $m=1013$； 另一方面，要证明 $m\geqslant 1013$，只需要证明 $a_{1013}\geqslant 2025$，由于初始值 $a_1=1$，$a_3=3$ 均为奇数，每次生成无论是等差生成还是等比生成均得到奇数，于是数列 $\{a_n\}$ 中的所有数均为奇数，命题得证．

② 由于 $$\dfrac{a_j^2}{a_i}-(2a_j-a_i)=\dfrac{(a_j-a_i)^2}{a_i}>0,$$ 因此等比生成比等差生成的数更大． 设 $b_k=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$，则 $b_1=1$，$b_2=2$，进而 $$b_3\leqslant 4,\quad b_4\leqslant 16,\quad b_5\leqslant 256,$$ 从而 $m\geqslant 6$． 若 $m=6$，则 $a_5\leqslant 256$，于是 $a_6$ 一定是利用 $a_5$ 等比生成的，而 $a_6=3^4\cdot 5^2$，从而 $45\mid a_5$．类似的，$a_4\leqslant 16$，于是 $a_5$ 一定是利用 $a_4$ 等比生成的，从而 $15\mid a_4$，进而 $a_4=15$．由 $a_3\leqslant 4$ 可得 $a_4$ 一定是利用 $a_3$ 等比生成的，从而 $15\mid a_3$，矛盾． 若 $m=7$，取 $^{[1]}$ $$a_n:1,2,3,9,27,45,45^2,45^3,\cdots,45^{n-5},\cdots$$ 则当 $n\geqslant 8$ 时，$a_n=\dfrac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}}$，符合题意，此时 $a_7=2025$．

综上所述，$m$ 的最小值为 $7$．

备注    $[1]$ 考虑到 $2025=3^4\cdot 5^2$，因此每次生成都需要注意产生因数 $3,5$ 且控制其个数，进而试探得到 $$a_n:1,2,3,3^2,3^3,3^2\cdot 5,3^4\cdot 5^2,\cdots,$$ 或 $$a_n:1,2,3,5,5^2,3^2\cdot 5,3^4\cdot 5^2,\cdots.$$