每日一题[3722]供应系统

2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^2-x,&x\geqslant a,\\a x-1,&x<a\end{cases}$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是_____．

答案    $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 3}2\right]\cup\{0\}$．

解析    $y=ax-1$（$x<a$）的图象是以 $P(a,a^2-1)$ 为端点的射线（不包括端点），显然 $a\leqslant 0$．此时 $y=x^2-x$（$x\geqslant a$）在 $x=\dfrac 12$ 处取得最小值 $-\dfrac 14$．

当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 的最小值由射线部分提供，为 $0$；

当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 的最小值由抛物线部分提供，为 $-\dfrac 14$，此时要求 $a^2-1\geqslant -\dfrac 14$，即 $a\leqslant -\dfrac{\sqrt 3}2$；

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 3}2\right]\cup\{0\}$．