每日一题[3710]消元求最值

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #2

已知实数 $x,y$ 满足 $x-3\sqrt y=\sqrt{x-3y}$，则 $x$ 的最大值为_____．

答案    $4$．

解析    根据柯西不等式，有

$$x=3\sqrt y+\sqrt{x-3y}=\sqrt 3\cdot \sqrt{3y}+\sqrt 1\cdot \sqrt{x-3y}\leqslant \sqrt{3+1}\cdot \sqrt{3y+(x-3y)}=2\sqrt x,$$ 于是 $0\leqslant x\leqslant 4$，进而当 $(x,y)=(4,1)$ 时 $x$ 取得最大值为 $4$；当 $(x,y)=(0,0)$ 时 $x$ 取得最小值为 $0$．