2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #14
质点每次都在四边形 ABCD 的顶点间移动,每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍,若质点的初始位置在 A 点,则经过 2 次移动到达 C 点的概率为_____,经过 n 次移动到达 C 点的概率为_____.
答案 $\dfrac 18$;$\dfrac 14+\left(-\dfrac 12\right)^{n+1}$.
解析 设经过 n 次移动位于 A,BD,C 点的概率分别为 an,bn,cn,从而(an+1bn+1cn+1)=(0141212121212140)(anbncn),
且 (a0,b0,c0)=(1,0,0),于是(a1,b1,c1)=(0,12,12),(a2,b2,c2)=(38,12,18),
注意到bn+1=12(an+bn+cn)=12,
有an+1=14bn+12cn=18+12(12−an),
即an+1=38−12an⟺an+1−14=−12(an−14)⟺an=14−(−12)n+1,n∈N∗,
进而 cn=14+(−12)n+1.