每日一题[3702]状态转移

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #14

质点每次都在四边形 ABCD 的顶点间移动,每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍,若质点的初始位置在 A 点,则经过 2 次移动到达 C 点的概率为_____,经过 n 次移动到达 C 点的概率为_____.

答案    $\dfrac 18$$\dfrac 14+\left(-\dfrac 12\right)^{n+1}$.

解析    设经过 n 次移动位于 A,BD,C 点的概率分别为 an,bn,cn,从而(an+1bn+1cn+1)=(0141212121212140)(anbncn),

(a0,b0,c0)=(1,0,0),于是(a1,b1,c1)=(0,12,12),(a2,b2,c2)=(38,12,18),
注意到bn+1=12(an+bn+cn)=12,
an+1=14bn+12cn=18+12(12an),
an+1=3812anan+114=12(an14)an=14(12)n+1,nN,
进而 cn=14+(12)n+1

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