2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #18
已知 $\triangle DEF$ 的顶点 $E$ 在 $x$ 轴上，$F\left(\dfrac 1 4,0\right)$，$|DF|=|EF|$，且边 $DE$ 的中点 $M$ 在 $y$ 轴上，设 $D$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$． 1、求 $\Gamma$ 的方程；
2、若正三角形 $ABC$ 的三个顶点都在 $\Gamma$ 上，且直线 $AB$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$，求 $|AB|$．
解析
1、设 $D(x,y)$（$y\neq 0$），根据题意，$E(-x,0)$，$M\left(0,\dfrac y 2\right)$，于是\[|DF|=|EF|\iff \overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{ED}=0\iff \left(-\dfrac 14,\dfrac y2\right)\cdot \left(2x,y\right)=0\iff -\dfrac x 2+\dfrac{y^2}2=0,\]所以 $\Gamma$ 的方程为 $y^2=x$（$x\neq 0$）．
2、设 $A (a^2,a)$，$B(b^2,b)$，$C(c^2,c)$，且 $A,B,C$ 为逆时针方向，则直线 $AB,BC,CA$ 的倒斜率分别为 $a+b,b+c,c+a$．而直线 $AB$ 的倾斜角为 $45^\circ$，于是直线 $BC,CA$ 的倾斜角分别为 $105^\circ,165^\circ$，从而直线 $AB,BC,CA$ 的斜率分别为 $1,-2+\sqrt 3,-2-\sqrt 3$，这样就有\[\begin{cases} a+b=1,\\ b+c=-2-\sqrt 3,\\ c+a=-2+\sqrt 3,\end{cases}\implies \begin{cases} a+b=1,\\ a-b=2\sqrt 3,\end{cases}\]因此\[|AB|=|a-b|\cdot \sqrt{(a+b)^2+1}=2\sqrt 6.\]